21世纪是杂乱性的世纪，了解混沌是探求杂乱性的要害环节。为深化了解混沌理论及其在科学、工程范畴的使用，集智学园特别策划。课程约请9位从事混沌及相关跨学科研讨的资深学者担任导师，自2022年12月9日起，每周五晚在线授课。

　　在榜首课，闻名混沌理论学者、香港城市大学讲座教授陈关荣以历史人物故事串联了混沌科学的开展进程，从三体问题到蝴蝶效应，从对混沌现象有理性认知，到现代混沌科学诞生，再到工程技能、核算机科学、脑科学等各个范畴的潜在使用，介绍了混沌相关的根底概念和理论。今日的文章是此次课程的收拾。

　　众所周知，因为牛顿运动定律的发生，描绘单体问题、二体问题变得比较简单。拉普拉斯也深信，这个世界上没有什么东西是不确定的，只需知道曩昔，就能知道今日；知道今日，就能知道未来。可是，后来人们发现实际并非如此，所以将其称为魔咒。

　　单体、二体问题的运动规矩被处理，但却不能将其不失一般性地推行到三体问题。咱们不由诘问：为什么三体问题难得多？因为描绘三体问题的方程求解过于困难，每个物体有三个自由度，需求3个二阶常微分方程描绘，将其化简为一阶方程后，方程总数就变成6个，三个物体总共需求求解18个方程。依照拉普拉斯的观念，只需成功求解便可精确描绘三体运动，可是，现在咱们只能求解 10 个方程的积分，远未能处理三体问题 。相同道理，要处理N体问题就更困难了。

　　更直观的了解，视频是一个三体运动的展现。能够将其了解为太阳、月亮和地球，它们之间存在彼此的招引力，所以任何一个都不会跑走。咱们看到其彼此绕转的轨迹反常杂乱：

　　关于上述问题，牛顿、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、泊松等许多大数学家想要处理，却都未能如愿。至于进入更杂乱的N体问题，如下面视频所示的相撞场景，咱们能够非常直观地看出其求解和剖析的困难程度。

　　三体问题处理不了，所以人们退而求次，挑选对其做一些束缚，简化为“平面约束性三体问题”：假定两个大质点作平面圆周运动， 一个小质点作空间运动。例如对下图所示的体系，束缚两个大的质点（木星和太阳）只能在平面上运动，小的质点（地球）能够在三维空间中运动。通过该办法能够削减体系的自由度，方程数量也会随之削减，较简单求解。

　　1772年，拉格朗日在这种约束条件下找到五个特解，即闻名的“拉格朗日点”，其间三个点（L1，L2，L3）是不安稳的，两个（L4，L5）是安稳的。

　　上世纪90年代，在美国休斯顿的美国国家航空航天局——NASA，做过一个很详细的有关环绕拉格朗日点运动的仿真。在太空中，如图所示，拉格朗日点L1在左边，L2在右侧，月球在中心，“小行星”飞行器绕其旋转。他们期望将飞行器从L1轨迹送到L2轨迹，但燃料不足以支撑。通过模仿仿真，他们寻找到一条途径，即混沌轨迹，对初始条件很灵敏，只需使用得好，通过其他星球间的招引力，飞行器只耗费一点能量就能达到轨迹搬运的意图。在2011年，ARTEMIS方案的榜首个探测器成功实践了这个仿真中得出的办法，只耗费很少燃料就完结了从L1轨迹到L2轨迹的搬运。

　　现在回到三体问题。1887 年，瑞典国王奥斯卡对科学非常有爱好，拿钱来奖赏科学家做研讨，看是否能处理N体问题，至少是三体问题。法国数学家庞加莱提交了一份陈述。当年的评奖委员会成员包含国王奥斯卡、魏尔斯特拉斯（Weierstrass）、米塔-列夫勒（Mittag-Leffler，瑞典最好的数学家）和赫米特（Hermite）。庞加莱赢得了大奖。

　　庞加莱得奖后，按规矩要将文章宣布在瑞典的数学学报。出书社修改在文章查看进程中，有个当地一向看不了解，所以就去问询作者。庞加莱在向他解说的进程中发现，有个要害的当地是过错的。

　　正是这个过错促进庞加莱转换了方向，从本来的定量剖析，即必定要求出解析公式，改动为定性剖析。比方说，假如咱们能证明存在一条途径终究会收敛于某一意图地并且能够描绘这个意图地的话，就无须苛求必须用公式将这条途径精确地表达出来。这思维在其时的科学研讨范畴是颠覆性的。

　　凭仗这个主意，庞加莱修补了自己的文章并于两年后宣布。重要的是，这套定性理论在后来成为了混沌理论研讨的最重要的东西，因为许多解析公式都是写不出来的。后来发现，三体问题的运动进程很杂乱，本源在于该体系对初始条件过于灵敏。一点点差错，比方剖析核算进程中的假定与实际有一点不同，就会导致终究的成果跟料想的彻底不相同。

　　这个思维很早就现已存在。古希腊（公元前300年）就现已呈现。后来用现代科学的言语表达得更有条理、更为明晰、更具逻辑性。在这个进程中，许多科学家都有奉献，包含麦克斯韦、阿达马等人，而庞加莱是终究做出概括总结的人，以数学办法清楚说明晰体系对初始条件的敏理性使得无法进行定量剖析。

　　上世纪20年代，范德波尔（van der Pol）在研讨真空管扩大器的进程中，写下了一个振动微分方程。其时人们并没有混沌或是对初始条件灵敏的概念。不过，当混沌理论有必定开展后，人们从头回忆这个方程时发现它其实是个混沌方程。其时，范德波尔在 Nature 杂志陈述了依据这个微分方程的霓虹灯试验，发现当驱动信号具有某种天然频率时，会听到毫无规矩的“噪音”。可是方程如下所示，其间并没有随机噪声项：

　　他其时不了解这种无规矩的振动从何而来，后来才被搞清楚是混沌动摇。多年之后，英国数学家玛丽·卡特赖特和李特尔伍德持续研讨范德波尔电路。他们发现参数的不适当挑选会导致方程解的不安稳性，并且变得不行猜测。这便是后来弄了解了的所谓的“蝴蝶效应”。

　　洛伦兹终身致力于长时刻气候预报。1961年的一天，他在校正气候预报数据时发现了一件令他非常疑问的事。数据曲线如下图所示：

　　其间蓝色曲线是昨日猜测的，赤色是今日猜测的。本来他是想比对猜测的精确性。可是，把两曲线放在一同比照后他却发现，两条曲线一开端分明是堆叠的，但跟着时刻增加却逐步分开了，到后来变成彻底不相同的两条轨迹。这令洛伦兹感到很意外。

　　面临相同数据的两次不同核算所得猜测曲线展现出的古怪别离现象，洛伦兹展开了详尽的研讨。他发现两次核算数据进程中，仅有的细小不同仅在于两个初始值之间千分之一级其他小数位数值差异。他弄清楚了，正是这细小的初始差错，跟着重复迭代，变成成果的巨大差异，表现出“体系对初始条件的高度敏理性”。

　　洛伦兹将他的发现写成一篇文章，定论标明：气候里有许多不明朗要素，一点动摇就会引起很大的差异，所以长时刻气候预报是不行能的。这个定论科学家简单了解，老百姓却不甚了解。所以洛伦兹做了一个比方：在南半球的巴西有一只蝴蝶扇动了一下翅膀，这是对大气很小的一个扰动，成果却会在北半球的美国德克萨斯州引起一场龙卷风。这便是后来广为人知的“蝴蝶效应”。其表现如下所示（赤色与绿色曲线是两个初值很挨近的点的运动轨迹）：

　　前文说到的庞加莱等科学家，他们有关于混沌的思维，但并没有数学公式或物理模型来展现。现代科学中，洛伦兹榜首个写出了气候物理体系的数学公式，由三个代数多项式方程构成：

　　通过给三个参数a，b和c赋值，能够画出该公式描绘的轨迹，如上图所示。这个轨迹具有三个特色——不发散、不收敛和非周期。

　　不发散：即不会跑到无量远处，此外它还具有必定的安稳性，会招引周边的其他轨迹，因而也被称为招引子；

　　上述三个特色，导致洛伦兹体系的解轨迹从许多初值的点动身都会堕入无休止的运动，并且这个运动并非周期性的，会制作出结构杂乱、状况繁复的轨迹曲线。

　　后来知道，法国物理学家罗卡德（Y-A Rocard）在1941年出书过一本法文作品《振动器理论》，其间现已有了一个略微杂乱些的混沌微分方程体系，但因是法文一向没有引起咱们留意。

　　讲到严厉混沌数学理论的诞生，则不得不提及混沌理论中斯梅尔的“马蹄理论”。作为对该理论的了解，幻想有一块面团，把它压扁拉长再半数，使之成为马蹄状（如下左图所示），这个进程在数学上称作一个映射。重复方才的进程，会发现色彩摆放变得越来越杂乱，乃至不行幻想的紊乱。斯梅尔证明晰，这样打乱了的数学点调集的终究成果是一个康托集。如下右图所示的三分集分形图形便是一个康托集。在马蹄映射的迭代中，端点处色彩的摆放能够用来解说混沌理论：本来相隔很远两头的绿色点调集通过一次改换后会挨得比较挨近。几回迭代后，得到非常紊乱的色彩散布。逆映射则能够把相邻的两种色彩点别离得很远，也便是具有对初始条件的敏理性。

　　这个马蹄理论用数学映射对混沌理论进行了明晰的描写，可做数学核算与证明，把混沌理论严厉化和可操作化了。

　　接下来咱们看离散混沌。离散与接连相对应，曲线是由一个个分立的点构成的。幻想一下，有两个孩子在踢球，一个站在球场中心把球踢出去，另一个人环绕着球场把球踢回去。这球怎样蹦？它满意方才说到的混沌轨迹三个特色：1）因为一个孩子不让球滚出球场，因而球的运动不发散；2）两孩子踢球不止，因而球的运动不收敛；3）两个孩子踢球的时刻周期不行能彻底相同，因而球的运动非周期。球的这种“乱蹦”就能协助了解离散混沌。

　　那么怎么用标准的科学言语来描绘这种离散混沌呢？这就不得不说到经典的Logistic映射，它是从生态体系得来的，是一个从差分迭代方程：

　　它表现出第（k+1）步的方位是依据第k步的方位得出的，由生态体系数学家罗伯特·梅（Robert M. May）加以精密的研讨。他画出了这样一条改动杂乱的曲线（如下所示）：

　　当方程中的参数α改动，该体系终究收敛的值以及值的个数也不尽相同，其联系如下图所示。其生成的分岔图还具有自类似特性。

　　与此同时，它还发生了费根鲍姆常数。鄙人图中，将初始到榜首次分岔的长度记做L0，从榜首次分岔到第2次分岔的长度记做L1，以此类推。

　　将其做份额，会发现比值约等于一个常数4.669，这便是费根鲍姆（M. Feigenbaum）常数，即：

　　和洛伦兹相同，罗伯特·梅为离散数学供给了一个很好的比如，但仍然短少数学理论。而这一部分，是由李天岩和约克（J. A. Yorke）完结的。李天岩在美国马里兰大学读博士时，导师约克对他说，“周期三就意味着混沌”。研讨两周后，李天岩证明晰约克的主意是正确的。这便是咱们今日所说的李-约克定理。

　　定理分为两部分。榜首部分说，从一个区间到另一个区间的映射假如是接连的，且有周期为3的解，那么它就会有周期为恣意正整数的解，不管周期为1、2仍是10000，等等；第二部分说，它的界说区间中存在无量多初始点，从它们动身进行迭代，得到的序列不是严厉周期的，也不趋于某个周期，这样的状况，他们称之为Chaos，也便是混沌。后来发现，李-约克定理的榜首部分仅仅沙可夫斯基（O M Sharkovsky）定理的特例；但李-约克定理的第二部分是现代数学混沌理论的精华。

　　混沌从物理和数学来到工程技能范畴后，蔡氏混沌电路引起了很大留意。蔡少棠先生规划了一个电路，其间电容、电阻、电感都是线性的，只需一个电阻对错线性的。这样的电路还能够用来组成更杂乱的电路，从示波器中调查会看到多涡卷混沌招引子（如下图所示）。留意这并非许多个信号凑集而来，而是由一根信号轨线不断绕转所生成。

　　使用蔡氏电路发生接连混沌信号，对其采样，然后进行模仿加工，并用处理过的信号来推进马达滚动，会发现发生的滚动是不均匀且没有规矩的。假如用来作拌和的话，流体的方位和快慢都不均匀。这样的混沌拌和往往比均匀转速的惯例拌和作用更好，能将溶液拌得愈加均匀。可是受制于资料物性和机械加工等问题，乱转会使得马达寿数缩短，这种拌和器还未能投入到商场。

　　除此之外，将上述办法使用到花园的旋转喷水器上，使其混沌地喷水，速度、方向和流量都处于无规矩状况，能够缩短喷水时刻并将水喷洒得愈加均匀。

　　现在混沌理论的思维技能往机械使用方面开展，还需求一些时刻来战胜本钱问题，但咱们都看到其远景宽广。

　　在脑科学范畴，混沌理论也派上了用场。大脑里存在非常杂乱的动力学行为。医师测脑电图时的EEG信号大多很紊乱，是一个混沌信号，不发散，不收敛，非周期。而这样的混沌信号常常是健康的。当它开端发散，或许意味着精神疾病；若是过于安稳，那是心脏中止跳动了；假如具有周期，那今日所想与昨日所想就一模相同了，明显不行能也不是一件功德。

　　混沌理论在核算机科学中最广泛的使用便是信息加密。例如，将一幅书法用Logistic映射迭代，因为色块被打得很细很乱，加工过的图形底子看不出是什么，无法看出原图的姿态。

　　当咱们进行加密操作，因为每一步的迭代方程或函数自己是清楚的，因而能够逆向康复。可是，他人并不知道咱们是怎么加工的。依据混沌对初始条件的灵敏依赖性，在康复进程中只需任何一个当地例如暗码或参数有一点点不同，就只能得到另一幅紊乱的图片，而不能窥视到本来的图画。

　　混沌运动还能够扩大到世界中。天文学家有许多陈述，说能观测到的天体运转都是混沌的，也便是不发散、不收敛、非严厉周期。例如地球上核算时刻，每年都有“闰秒”的调整。霍金曾在 arXiv 宣布过一篇文章，讲黑洞的构成是一个经典含义下的混沌进程。可见，混沌背面还藏着许多学识亟待探求与发现。

　　开端人们仅仅模模糊糊感觉到，一个小小的差错，或许会对未来发生很大的影响。正践约公元前210年我国《礼记 · 经解》中所说：“差若毫厘，谬以千里”；又如亚里士多德那句“对真实性极小的初始违背，往后会被成千地扩大”。这个思维在探求和认知物质世界的进程中被不断逻辑化，直到庞加莱将其概括为“初始条件的细小差错在终究成果中发生极大不同的状况或许发生……所以猜测变为不行能，然后咱们就看到了许多偶尔现象”。通过一个弯曲绵长的进程，混沌理论的种子在不知不觉中被哲学家和科学家们埋下。

　　跟着科学开展，混沌的深入含义和广泛影响逐步引起人们的留意。因为确定性方程中非线性项的存在而引发的体系随机状况，勾起越来越多人的好奇心，进行了许多探求。直到洛伦兹在研讨气候体系的进程中，给出了一个清晰的方程式模型来描绘混沌。他的“对初始条件敏理性”，或称“蝴蝶效应”走进了群众视界。这个现象总算开端让人们测验去进行理论剖析，终究由梅尔斯的“马蹄映射”将其做了数学含义上的严厉证明。

　　继接连混沌之后，离散混沌也开端逐步被人探求，其进程与接连混沌方法不同但实质相同。Logistic映射给了离散混沌一个很详细的比如。这个模型终究在李-约克定理的解说下，发生Chaos一词，混沌理论总算进化成一门独立的学识。

　　混沌理论由一种思维，通过模型完结后又经由数学的证明与完善，终究成为一套较为齐备的理论体系，并进入多个不同学科范畴，如工程技能和核算机科学，为实践与使用供给辅导。而咱们稍加留意后也越来越发现，混沌在咱们日子中其实无处不在。

　　当然，关于混沌的探求还远远没有结束，咱们周边的世界充溢奥妙的事物好像都与混沌有所相关。未来它还会带来怎样的惊喜？咱们拭目而待。最好的认知和学习办法，当然便是参加其间！

　　陈关荣教授1981年获广州中山大学核算数学硕士学位，1987年获美国Texas A&M 大学使用数学博士学位，这以后在美国Rice和Houston大学任教。自2000年起，他承受香港城市大学讲座教授职位作业至今，在该校成立了“杂乱性与杂乱网络”学术研讨中心并任主任。陈关荣教授长时刻从事非线性科学研讨，多年来被评定为工程学高被引研讨人员，现任“分叉与混沌”世界学术杂志主编。他于1997年被选为IEEE Fellow，于2008、2012、2016年获国家天然科学二等奖，2011年获俄罗斯圣彼得堡国立大学颁布荣誉博士学位和俄罗斯欧拉基金会颁布欧拉金质奖章，2014年获法国诺曼底大学颁布荣誉博士学位，并于2014年当选为欧洲科学院院士、2015年当选为开展我国家科学院院士。

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